本报告系统研究了面向现代计算架构的数值线性代数性能优化方法，聚焦于通信避免与混合精度两类核心算法。在通信避免算法方面，解决了低同步算法中长期存在的一个算法难题——首次提出了具有严格理论保证的稳定单同步Gram–Schmidt正交化算法，并将其应用于典型的Krylov子空间方法（如s-step GMRES算法），在分布式内存平台上展示了显著的性能优势。

在混合精度算法方面，研究工作围绕两个方面展开：第一，以奇异值分解中的单边Jacobi SVD算法为例，提出基于迭代改进思想的混合精度方案。理论分析表明，该算法能够达到与固定精度传统方法相同的高精度结果；CPU实验验证了其可实现约2倍的理想加速比。第二，以特征值问题的LOBPCG算法与线性方程组求解的预条件共轭梯度（PCG）算法为例，系统探究了低精度预条件子对算法性能、收敛性及最终结果的影响。针对混合精度LOBPCG算法，我们证明低精度预条件子仅对收敛性产生微小影响，并在CPU与GPU实验中观测到1.4倍至2倍的加速效果。尤为重要的是，对于PCG算法，我们首次严格证明了数值代数领域长期悬而未解的公开问题——传统PCG算法的向后稳定性，并在此基础上系统分析了低精度预条件子对计算结果的有限影响。

本研究通过算法创新、高效实现与理论分析的有机结合，为现代计算平台上的高性能数值代数提供了兼具效率与可靠性的解决方案。