本报告将介绍一些离散复形的理论及其相应的应用。具体说来，我们讨论了（1）如何构造高正则性的协调有限元，以及对应的离散复形。（2）我们考虑样条复形及其推广，作为应用，我们讨论了Scott-Vogelius单元和它的对称矩阵推广，以及其在梯度应力弹性力学中的应用 （3）我们讨论了一些基于有限元-分布离散的单元的上同调理论，涵盖了Hellan-Hermann-Johnson方法对应的复形以及Christiansen-Regge弹性复形。以此为基础，我们讨论了一般情况下如何构造双形式值的协调有限元。